2. Técnica basada en la medida de los retardos temporales

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En principio podríamos pensar que calculando los retardos temporales entre 3 satélites y el usuario ya tendríamos la posición deseada (X_i,Y_i,Z_i), puesto que tres esferoides que se cortan definen un punto. ¿Por qué son necesarios entonces 4 satélites si parece que basta con 3 para obtener la posición?.

La respuesta a esta pregunta es que, efectivamente, bastaría con sólo 3 satélites para determinar la posición. Pero esto exige una precisión muy buena y una gran estabilidad de los relojes, tanto del satélite como del receptor. Si bien los satélites cumplen estas dos condiciones, pues incorporan un reloj atómico (que son muy precisos y muy estables), este no es el caso de los receptores puesto que su precio sería desorbitado.

La solución a este problema es introducir una nueva incógnita en el sistema (además de las tres coordenadas espaciales del receptor) debido a la deriva que existe entre el reloj del satélite y el reloj del usuario. Y es por esto por lo que necesitamos 4 satélites como mínimo, y no 3 como parecía en un principio.

Como acabo de decir, se emplean 4 satélites respecto a los cuales el receptor calcula las distancias respectivas. En realidad no se miden distancias, sino pseudodistancias. Veamos que significa este concepto:

LLamamos

[0]

entonces

[1]

-------------- distancia real (sin deriva)

[2]

-------------- pseudodistancia
donde el tiempo medido es:

[3]

[4]

Este es el error producido como consecuencia de la deriva existente entre el reloj del satélite y el reloj del receptor.

Así pues, la distancia real (que es la que realmente nos interesa) será:

[5]

Las coordenadas de cada satélite son conocidas, tenemos 4 ecuaciones de la forma:

[6]

para i = 1,..,4
(x_i,y_i,z_i) ------------ coordenadas del satélite
4 ecuaciones ~ 4 incógnitas --- solución única

Para linealizar [6] y facilitar así su resolución se pide al usuario que introduzca una posición aproximada:

[7]

Desarrollamos en serie de Taylor en torno a este punto

[8]

[9]

Que puede ponerse como:

[10]

Y así hemos llegado a un sistema con 4 ecuaciones y 4 incógnitas que se van a calcular conociendo las distancias a 4 satélites.

Si hay más de 4 satélites visibles se calculan las pseudodistancias respecto a todos los satélites visibles, obteniendo así un sistema con más ecuaciones que incógnitas, lo que simplifica el cálculo de la posición.
El sistema está diseñado para que sobre cualquier punto de la superficie terrestre haya al menos 4 satelites visibles.
El sistema GPS además de la posición nos ofrece una referencia temporal muy exacta, esto permite:

Sincronizar los relojes locales (esto tiene muchas aplicaciones, p.ej. sincronización en transmisiones...).
Posibilidad de medir la velocidad a la que se desplaza el usuario a través del desplazamiento Doppler.
[11] ---- relación f_Doppler ~ desplazamiento Doppler

Algunos detalles del sistema GPS

Error instrumental del cálculo de pseudodistancias como consecuencia de un error en la medida del retardo temporal de la señal.
[12] ---- relación f_Doppler ~ desplazamiento Doppler
El sistema GPS requiere sistemas de medidas de retardo muy precisos.
El reloj del satélite también puede sufrir alguna deriva (al cabo de varios años). El GPS envia al receptor una serie de modelos para correguir estas derivas.
Puede suceder que el receptor sólo sea capaz de recibir las señales de 3 satélites. En este caso se pide al usuario que introduzca la altura y se emplea el GPS en 2D.
La señal tarda unas centésimas de segundo en llegar al receptor, la posición del satñelite que hay que considerar para calcular la posición del usuario es la que tenía el satélite en el momento de transmitir la señal.


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